Tetration có những tính chất tương tự như luỹ thừa, cũng như các thuộc tính cụ thể dành riêng cho nó và bị mất hoặc thu được từ lũy thừa. Bởi vì luỹ thừa không có tính chất giao hoán, kết quả và quy tắc không có sự tương tự với tetration, các câu a ( b x ) = ( a b x ) {\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)} and a ( x y ) = a x a y {\textstyle {}^{a}\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y} không nhất thiết đúng với mọi trường hợp.[9]

Tuy nhiên, tetration theo một tính chất khác, trong đó a x = x ( a − 1 x ) {\textstyle {}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}} . Sự thật này được thể hiện rõ nhất bằng cách sử dụng định nghĩa đệ quy. Từ thuộc tính này, một mệnh đề theo sau ( b a ) ( c a ) = ( c + 1 a ) ( b − 1 a ) {\displaystyle \left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}=\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}} , cho phép chuyển đổi b và c trong các phương trình nhất định. Mệnh đề như sau:

( b a ) ( c a ) = ( a b − 1 a ) ( c a ) = a ( b − 1 a ) ( c a ) = a ( c a ) ( b − 1 a ) = ( c + 1 a ) ( b − 1 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}

Khi một số x và 10 là số nguyên tố cùng nhau, có thể tính các chữ số thập phân m cuối cùng của   a x {\displaystyle \,\!\ ^{a}x} bằng định lý Euler, cho bất kỳ số nguyên m.

Hướng đánh giá

Khi đánh giá tetration thể hiện như một "tháp luỹ thừa", lũy thừa được thực hiện ở cấp độ sâu nhất trước tiên[1] (trong ký hiệu, ở đỉnh). Ví dụ:

  4 2 = 2 2 2 2 = 2 ( 2 ( 2 2 ) ) = 2 ( 2 4 ) = 2 16 = 65 , 536 {\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}

Thứ tự này rất quan trọng vì lũy thừa không có tính kết hợp, và đánh giá biểu thức theo thứ tự ngược lại sẽ dẫn đến một câu trả lời khác:

2 2 2 2 ≠ ( ( 2 2 ) 2 ) 2 = 4 2 ⋅ 2 = 256 {\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=4^{2\cdot 2}=256}

Đánh giá biểu thức từ trái sang phải được coi là ít thú vị hơn, đánh giá từ trái sang phải, mọi biểu thức n a {\displaystyle ^{n}a\!} có thể được đơn giản hóa thành a ( a n − 1 ) {\displaystyle a^{\left(a^{n-1}\right)}\!\!} .[10] Bởi vì điều này, các tháp phải được đánh giá từ phải sang trái (hoặc từ trên xuống dưới). Lập trình viên máy tính nhắc đến sự lựa chọn này như kết hợp phải.